sábado, 30 de junio de 2012

Ejercicios resueltos de R2 y R3

Libros de vectores

http://books.google.com.pe/books?id=bZw8AAAAIAAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false



Vectores en R2:






Vectores en R3:









Vectores en R2

Definición:


Par ordenado de números reales (a1,a2) se puede usar para determinar el vector representado por le segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares.El vector determinado por el par si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x , y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.


Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar lineas paralelas a los ejes de coordenadas al punto inicial B y por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 =  c2 - b2








jueves, 28 de junio de 2012


VECTORES EN R3

Un vector de R3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la  siguiente manera: 







Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.



Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.


Añadir leyenda
 3. Para v otro vector de Rn se cumple la desigualdad triangular 

                                                   

  La dirección de está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z




































       



Dados por:
                         


VECTORES EN Rn


El espacio vectorial Res el conjunto de todos los vectores con n componentes 
(x1, x2, x3, ..., xn) con cada xi que pertenece a los números reales.


A xi se le llama componente i-ésima del vector.


1.2. Operaciones con vectores y sus propiedad


Producto por escalar


Sean un vector u de Rn, y un escalar de α de R, se define el producto por escalar del "u" y el escalar α como:



Efectos

El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que interviene en la operación, esto es:

1.Si α > 1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y conserva la dirección de u.


2.Si 0 < α < 1, entonces el vector αu tiene magnitud o normal menor que la norma de u y conserva la dirección de u.


3.Si -1 < α < 0, entonces el vector αu tiene magnitud o norma menor que la norma de u y dirección contraria a la de u.


4.Si α < -1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y dirección contraria a la de u.








Sean u y v dos vectores de Rn, α y ß dos escalares cualesquiera. Entonces:

          


SUMA Y RESTA

La suma y resta se hace componente a componente.

Consideremos los vectores:

    
Propiedades de la suma de vectores:

4. u + 0= 0 + u. donde el vector 0 = <0, 0, ... , 0> es el único con esta propiedad.


5. u + (-u) = (-u) + u = 0, a -u se le llama inverso aditivo de u, y el es único con esta propiedad.




Geométricamente:


Los vectores w y v sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el
vector suma y el vector de la diagonal menor es el vector diferencia.

      


PROPIEDADES DE LOS VECTORES



1.3. Producto escalar y vectorial

PRODUCTO ESCALAR o PRODUCTO PUNTO
El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud.








Note que el producto escalar de vectores da como resultado un escalar, no un vector.

Tambien se puede definir el producto escalar en terminos de la magnitud de los vectores y en el angulo entre ellos, se da la siguiente manera:

         



De la representacion anterior del producto escalar, se puede conseguir el angulo entre los vectores, como sigue:
    

PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO


  • Observación: no hay propiedad asociativa pues v.( w.u) no tiene sentido dado que w.u es un numero real.

PRODUCTO VECTORIAL o PRODUCTO CRUZ

Dados los vectores del espacio, el producto vectorial entre u y v se define como:

 

Observaciones:

1. Los vectores i, j, k constituyen una base para el espacio R3. Estos son vectores unitarios en las direcciones positivas de x, y, z respectivamente, en nuestra notación el vector producto vectorial se puede escribir como:


2. El producto vectorial se define un vector que es al mismo tiempo perpendicular a los vectores u y v.

3. La magnitud del producto vectorial se puede definir también como:


donde θ define el ángulo entre los vectores u y v.

4. De la forma como se define la magnitud, se observa, que si u y v son no nulos y θ = 0° o θ  = 180°, entonces la magnitud del vector producto vectorial es cero, y viceversa si la magnitud del vector producto vectorial es cero, entonces el ángulo entre los vectores es cero o 180°. Este hecho, constituye una caracterización del producto vectorial que indica cuando los vectores u y v son paralelos. Podemos resumir este hecho asi:




5. Geometricamente el u.v, tambien define un paralelogramo con los lados :  ,que tiene área dada por A = 



1.4. Productos triples (escalar y vectorial)

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

Sean los vectores:

El triple producto escalar se define como el determinante anterior, esto quiere decir que hereda muchas de las propiedades de los determinantes, una de ellas dice que una permutación de filas o columnas implica un cambio de signo en el valor determinante. Por esta razón, el producto escalar no es conmutativo

1. Puntos Coplanares: Cuatro o mas puntos son coplanares si existe un plano que los contenga.

2. Vectores Coplanares: Dos o mas vectores son coplanares si existe un plano que los contenga.

3. Geométricamente el triple producto escalar se define un solido (Paralelepípedo), el volumen de este solido esta dado por


4. Las observaciones anteriores permiten una caracterización de cuando tres vectores o cuatro puntos son coplanares, esta es la siguiente:

            



TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
1  EL TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL

Para los vectores, el triple producto vectorial es un vector 

                                               

Por una parte, es perpendicular al plano formado por los vectores b y c, ya que  es perpendicular a (b.c), entonces w pertenece al plano formado por b y c:
                 
                             

         

Por definición:

     


luego:
         
haciendo las cuentas,

     

Ahora veamos que la primera componente tiene una forma muy particular
            
               

revisando las otras componentes, observamos que
  
     

con esto, el triple producto vectorial se escribe como:

                        

Con ésto podemos escribir las siguientes expresiones:

        
Propiedades del triple producto vectorial











1.5 Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y vectoriales.


PRODUCTO ESCALAR
Aplicaciones físicas
Trabajo:

     

Aplicaciones geométricas:
 - Calculo de la proyección de un vector sobre otro:
 
        
-Calculo del ángulo que forman dos vectores:

                     

PRODUCTO DEL ANGULO VECTORIAL
Aplicaciones físicas:
- Momento angular o momento cinético:


- Momento a la fuerza:


- Velocidad tangencial con respecto a la velocidad angular en un movimiento circular:



APLICACIONES GEOMÉTRICAS

- Hallar un vector perpendicular a otros dos. Cuando se quiere hallar un vector que es perpendicular a otros dos al mismo tiempo, un modo muy sencillo de hacerlo utiliza el producto vectorial. Dado que en 3 dimensiones solo existe en una recta perpendicular a dos vectores no paralelos al mismo tiempo, si hallamos el vector unitario del producto vectorial de los dos vectores, hallaremos el vector unitario de esa dirección. Por último, basta con multiplicar el vector unitario por el módulo del vector que pretendemos calcular para obtener las coordenadas del vector.


Podemos observar como base del paralelogramo se corresponde con el módulo de un vector y la altura con el módulo del otro vector multiplicando por el valor absoluto del seno del ángulo que forman, de tal manera que conociendo el área de un paralelogramo:



1.6 Ecuaciones de planos y rectas 
     RECTAS
Consideremos la recta L que pasa por P y por Q. Esta recta es paralela al vector  por lo tanto, dado un punto R = (x, y, z) Î L, se debe cumplir que:










1. La ecuacion vectorial de L es:


2. Despejando x, y z obtenemos las ecuaciones simétricas de L:


PLANOS
Así como una recta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por 3 puntos no colineales.